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Espacio T1

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Axiomas de separación
en espacios topológicos
T0
T1
T2
T
completamente T2
T3
T
T4
T5
T6

En topología un espacio T1 o de Fréchet es un caso particular de espacio topológico.

Definición

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Un espacio topológico es si para cada pareja de elementos distintos , de existe un abierto que contiene a y no a . Esto claramente implica que también existe un abierto que contiene a y no a , ya que también se cumple para la pareja , . Por tanto, también se suele definir como un espacio topológico tal que para cada pareja de elementos distintos e de existe un abierto que contiene a y no a y también existe un abierto que contiene a y no a

Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo e , sería un espacio de Hausdorff o ).

Propiedades

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Sea un espacio topológico. Son equivalentes:

  • es un espacio .
  • es un espacio y un espacio .
  • Para cada de , es cerrado.
  • Todo conjunto de un único punto es la intersección de sus entornos.
  • Todo subconjunto de es la intersección de sus entornos.
  • Todo suconjunto finito de es cerrado.
  • Todo subconjunto cofinito de es abierto.
  • El ultrafiltro principal de converge solamente a .
  • Para cada punto de y todo subcojunto de , es un punto límite de si y solo sí es un punto de acumulación de .

La propiedad de ser T1 es hereditaria, es decir, los subespacios de un T1 es también T1.[1]

Nota y casos

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  • Sea (ℕ, T) donde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A y ℕ - A es finito}. Entonces T es una estructura topológica sobre ℕ, llamada estructura topológica cofinita que es T1 pero no T2.[2]
  • Cualquier espacio T1 finito es un espacio topológico discreto.[3]
  • Sea con la topología formada por los subconjuntos de siguientes: , , , , . No es T1 ya que no es cerrado.[4]

Teorema

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Un espacio topológico es T1 si y solo si cada punto es un conjunto cerrado.[3][5]

Ejemplos

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Referencias

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  1. Llopis, José L. «Propiedades topológicas hereditarias». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 10 de octubre de 2019. 
  2. Ayala y otros: "Elementos de topología general" ISBN 84-7829-006-0
  3. a b Simmons: Introduction to Topology and Modern Analysis
  4. Llopis, José L. «Ejemplos y propiedades de los espacios topológicos finitos». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 11 de octubre de 2019. 
  5. Llopis, José L. «Espacio topológico de Fréchet T1». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 13 de octubre de 2019. 
  6. Sapiña, R. «Topología cofinita». Problemas y Ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 13 de octubre de 2019. 
  7. Sapiña, R. «Espacio de Sierpinski». Problemas y Ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 13 de octubre de 2019. 

Véase también

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Bibliografía

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Enlaces externos

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